"무한"이란 도대체 무엇일까? 깊이 생각하지 않고, 그냥 단순히 말하면 "한계가 없는" 것이다. 하지만, 그 의미를 깊이 생각하면 할수록 더 모르게된다.
무한이란 단순한 추상일까?
아니면 현실에 존재하는 것일까?
천재 물리학자 아인슈타인은 이런 명언을 남겼다.
"무한한 것이 2개있다. 우주와 인긴의 어리석음이다. 우주에 대해서는 단언할 수 없는..."
아리스토텔레스에서 독일 수학자 게오르크 칸토어까지 동서고금의 위대한 두뇌들이 "무한"에 대해 사색해왔다. 그렇지만 결국 무한은 무엇인가?
- 무한은 한 종류만이 아니다
무한은 수학의 세계에 제대로 뿌리내리고 있다. 하지만 미국 코넬 대학의 수학자 저스틴 무어에 의하면, 이 분야의 그것은 세상의 그것과는 조금 다르다.
"대부분의 경우, 실수 직선의 끝에있는 일종의 가상의 수를 의미합니다. 또는 정수에서 수라고하기에는 너무 큰 것을 가리키는 경우도 있습니다"
또한 무한은 한 종류만이 아니다.
예를 들어, 숫자를 세는 행위는, 끝이없는 일종의 무한을 상징하고 있다. 이른바 가능 무한이라고하는 녀석이다.
이론적으로는, 최대수에 도달하는 것이 아니라, 영원히 계속 셀 수있다. 그러나 예를 들어 무한의 기호처럼 무한 경계를 마련 할 수도있다. 그리고 그 경계 내에있는 동안은 끝없이 반복 될 수있다.
모든 무한이 동일 등가 인 것도 아니다. 19세기 말, 게오르크 칸토어는, 실수의 집합이, 자연수의 집합보다도 큰 것을 증명했다고 주장하고 논쟁을 일으켰다. 정수는 이미 무한이기 때문에, 일부의 무한은 무한보다 크다는 것이다. 또한 그 정수와 같은 집합 대조적으로, 일종의 무한이 셀 수없을 가능성도 보여주었다.
"당시, 그것은 충격적인 것이었습니다"라고 노르웨이, 오슬로 대학에서 논리학과 수학을 철학하는 오일 스테인 리네보는 설명한다. "그러나 수십 년에 걸쳐 수학속에 채워져갔습니다"
무한이 없으면 많은 수학적 개념은 파탄 해 버린다.
예를 들어, 원형, 구형, 타원형과 관련된 기하학의 공식적으로 필수 인 원주율 π는 본질적으로 무한과 관계가 있다. 그것은 무리수(분수로 나타낼 수없는 숫자)이며, 무한으로 이어지는 소수로 구성되어 있기 때문이다.
또한 무한이 존재하지 않으면, 최대 수라는 것도 있게 되는 것. 그것은 완전한 넌센스이다. 모든 숫자에 더 큰 숫자가 없으면 제대로 작동하지 않을 것이다.
- 측정 할 수없는 것을 측정 할 수 있을까?
그러나 실제 세계에서는 아직 무한은 발견되지 않았다.
혹시 마주보는 거울의 표면에 무한 반사하는 모습을 본 적이 있을지도 모르지만, 그것은 빛의 효과에 지나지 않고, 물체 자체는 물론 무한하지 않다.
"현실에 무한이 존재하는지 여부, 그것은 매우 의의있는 것입니다. 게다가 무한은 측정 할 수 없습니다"라고...
그 존재를 증명하기 위해 무한을 측정하려고해도 소용 없다. 측정 가능하다는 것은, 그것은 즉 유한하다는 것을 의미하고 있다. 그렇게 시험해도 구체적인 양을 잡을 수 없다는 결과가 된다.
실제 세계에서 무한을 구해보려고 하는 시험으로는, 대부분은 우주로 눈을 돌린다. 우리가 알 수 있는 것은 최대의 실체이다. 그래도 그것이 무한인지, 아니면 그냥 쓸데없이 큰것 뿐인지를 증명하는 것은 아니다.
아인슈타인은 우주는 유한이라고 하지만, 경계가 없다고 주창했다. 무한과 유한의 중간 같은 것이다. 그는 그것을 상상할 수없는 종류의 공이라고 설명했다.
무한이라고 하면 큰 것으로 연상하기 쉽지만, 수학자는 무한히 작은 것을 찾으려고 하는 사람도 있다.
이론적으로, 라인을 두 점 사이의 구간을 취하면, 그것을 계속 양분 할 수있을 것이다.(이것은 이분법으로 알려진 제논의 역설의 일종이다)
같은 원리를 물질에 적용하려고 하면 금세 벽에 부딪친다. 현실 세계의 물체를 원자와 그것을 구성하는 입자까지 작게 분해하는 것은 가능하다. 그러나 현재의 과학에서는, 양자 입자를 더 이상 분해할 수없는 것으로 되어있다.
- 특이점의 무한
현실 세계에서 무한을 발견한다면, 그 가장 유력한 후보는 블랙홀 일지도 모른다. 블랙홀의 중심에 특이점이라는 엄청난 무게를 내포하는 것으로 간주되는 1차원의 점이 있다. 물리학에 따르면, 이 이상한 점의 밀도와 곡률 등의 특성은 무한이라고 한다.
특이점에서, 그러한 무한에 의해 많은 등식이 파탄하는 대부분의 물리 법칙은 통하지 않게된다. 예를 들어, 시공은 더 이상 별개의 존재가 아니라 융합하는 것으로 생각된다.
그러나 리네보에게 물어본다면, 블랙홀은 실체로해서의 무한의 실례에는 거리가 멀다는 것이다. "내 느낌이지만, 물리학자의 대부분은 그곳에서 그들의 이론이 파탄된다고 생각됩니다. 무한의 곡률과 밀도가 되어버리면, 이론을 적용 할 수있는 범위를 초과하고 있다는 것입니다"
따라서 특이점을 설명하는 새로운 이론이 필요하게 될 것이다. 그것은 물리적 세계에서의 가능성을 초월한다고 생각.
현시점에서의, 무한은 추상적인 개념에 머물고 있다. 인간의 두뇌에 의해 생성 된 개념이지만, 과연 당신은 그것을 구상 할 수있을까? 그러기 위해서는 우리의 두뇌 역시 무한해야 할 것임에 틀림없다.